贝塞尔

了解贝塞尔曲线的数学

贝塞尔曲线在计算机图形学中被大量使用，通常可以产生平滑的曲线，但是它们是非常简单的工具。如果您曾经使用过Photoshop，则可能会偶然发现名为"锚点"的工具，您可以在其中放置锚点并用它们绘制一些曲线……是的，这些是贝塞尔曲线。或者，如果您使用了基于矢量的图形SVG，那么它们也将使用贝塞尔曲线。让我们看看它是如何工作的。

定义

给定n + 1个点（P0，…，Pn）称为控制点，这些点定义的贝塞尔曲线定义为：

贝塞尔公式

> eq. 1

其中B（t）是伯恩斯坦多项式，并且：

> eq. 2

您会注意到，该伯恩斯坦多项式看起来很像牛顿二项式公式中的k（th）项，即：

> eq. 3

实际上，伯恩斯坦多项式不过是（t +（1- t））^ n = 1的展开式中的k（th）项。这就是为什么如果将所有Bi加到n，则得到1 。无论如何。

二次贝塞尔曲线

由于P（t）的度为2，所以二次贝塞尔曲线称为3个控制点的贝塞尔曲线。让我们计算给定3个控制点的贝塞尔曲线，并探索一些我们可能会发现的特性！记住，等式 1代表n + 1点，因此在我们的情况下n = 2。

> eq. 4

请注意，P（t）不会返回数字，而是返回曲线上的一个点。现在我们只需要选择三个控制点并在[0，1]范围内评估曲线。我们可以很容易地在Python中做到这一点。

您会注意到曲线在第一个和最后一个控制点处开始和结束。对于任何数量的点，该结果都是正确的。由于t的范围是0到1，我们可以通过在t = 0和t = 1时评估P（t）来证明这一点。使用等式 1：

> eq. 4

> eq. 5

因为曲线从P0到P2，所以在这种情况下，P1完全确定曲线的形状。在您周围移动P1可能会注意到以下几点：

贝塞尔曲线始终包含在由控制点形成的多边形中。因此，此多边形称为控制多边形或贝塞尔曲线多边形。此属性还适用于任意数量的控制点，这使得使用软件时它们的※作非常直观。

矩阵表示

实际上，我们可以使用矩阵乘法表示贝塞尔公式，这在其他情况下可能有用，例如用于拆分贝塞尔曲线。如果回到示例，我们可以重写P（t），如下所示：

> eq. 6

因此，所有关于二次Bézier曲线的信息都被压缩到一个矩阵M中。现在，我们可能想要查找矩阵的系数而不必执行所有这些步骤，并且以一种易于编程的方式。由于矩阵的系数只是每个Pi前面的多项式的系数，因此我们要寻找的是伯恩斯坦多项式方程的展开形式。 2。

还有一件事：如果扩展Bi（t），我们将在Pi前面获得多项式，该多项式对应于矩阵中的第i（th）列。但是，这并不是很方便，如果我们可以获取行，那么编程起来会更容易。也就是说，您可能会注意到矩阵的第i（th）行与反向（ni）（th）列完全相同，并且反向（ni）（th）列的系数不过是 B（ni）（t）。好吧，做吧！